Section: New Results

Algèbre max-plus, déformations et asymptotiques /Max-plus algebra, deformations and asymptotic analysis

Introduction

Comme indiqué dans le § 3.7 , l'algèbre max-plus est la limite d'une déformation de l'algèbre classique, ou plutôt du semi-corps des réels positifs. Elle peut aussi fournir des estimations de ces déformations, puisque

L'utilisation de ces propriétés a déjà conduit dans le passé aux travaux sur les perturbations de valeurs propres  [55] , [54] , [53] , ou sur les grandes déviations [1] , [59] . Dans les travaux qui suivent, nous exploitons ces propriétés dans des contextes reliés ou similaires à ceux de nos travaux précédents.

English version

As detailled in § 3.7 , max-plus algebra is the limit of a deformation of classical algebra, or more precisely of the semi-field of usual real positive numbers. It can also give estimations for these deformations using for instance (11 ). By using these properties, we already obtained some works on singular perturbations of matrix eigenvalues  [55] , [54] , [53] , or on large deviations [1] , [59] . In the works described below, we are exploiting again these properties in contexts that are related or similar to those of our earlier works.

Aspects tropicaux des algorithmes de scaling matriciel/Tropical aspects of matrix scaling problems

Participants : Marianne Akian, Stéphane Gaubert, Meisam Sharify Najafabadi [Univ. Manchester] .

Une partie du travail de thèse de M. Sharify  [167] portait sur les méthodes de mise à l'échelle pour améliorer la précision du calcul de valeurs propres. En appliquant les techniques de  [53] , [54] , on montrait notamment que l'ordre de grandeur des valeurs propres d'un faisceau matriciel est donné (sous des conditions de non-dégénerescence) par les valeurs propres tropicales, qui peuvent être calculées de manière robuste, et fournissent ainsi une mise à l'échelle pour calculer les valeurs propres classiques.

Nous avons poursuivi ce travail dans [41] . On calcule cette fois l'ordre de grandeur des valeurs propres d'un polynôme matriciel au moyen des racines tropicales du polynôme obtenu en appliquant une norme donnée aux coefficients. Les racines dépendent de la norme choisie, et la norme de Frobenius est optimale en un certain sens. On obtient des bornes générales pour les ratios entre modules des valeurs propres et racines tropicales qui généralisent les bornes obtenues par Polya et Ostrowski dans le cas de polynômes scalaires. On raffine aussi ces bornes, en particulier lorsque les racines tropicales sont bien séparées les unes des autres.

English version

A part of the PhD work of M. Sharify  [167] dealt with scaling methods to improve the accuracy of eigenvalue numerical computions. Applying the techniques of  [53] , [54] , we showed in particular that the order of magnitude of the eigenvalues of a matrix pencil can be determined (under nondegeracy conditions) by computing tropical eigenvalues. The latter can always be computed accurately and provide a scaling which can be combined with standard numerical methods for matrix pencils.

We have pursued this work in [41] . Now, we compute the order of magnitude of the eigenvalues of a matrix polynomial by using the tropical roots of a polynomial obtained by applying a norm to the coefficients of the original matrix polynomial. The tropical roots depend on the chosen norm, and the Frobenius turns out to be optimal in a certain sense. We obtain indeed general bounds on the ratios between the modulus of the eigenvalues of the matrix polynomial and the tropical roots which generalize the bounds of Polya and Ostrowski available for scalar polynomials. We also improve these bounds, in particular when the tropical roots are well separated.

Méthodes tropicales de localisation de valeurs propres de matrices/Tropical methods for the localisation of matrix eigenvalues

Participants : Marianne Akian, Stéphane Gaubert, Andrea Marchesini.

Le travail de stage de M2 d'Andrea Marchesini a conduit à la publication [14] dans laquelle on montre des inégalités de type majorisation entre les valeurs propres d'une matrice et les valeurs propres tropicales de la matrice de ses modules. En particulier, la majoration est une généralisation de l'inégalité de Friedland  [106] concernant le rayon spectral.

La thèse d'Andrea Marchesini s'inscrit dans le prolongement de son stage de M2 dans l'équipe et certains des travaux de la thèse de Meisam Sharify  [167] . Le but est d'obtenir des inégalités de type majorisation permettant d'estimer a priori les valeurs propres de matrices ou de faisceaux de matrices, en faisant éventuellement intervenir des hypothèses de bon conditionnements. En particulier on recherche la localisation de ces valeurs propres en fonction de valeurs propres de matrices agrégées ou simplifiées. On cherchera aussi à obtenir le même type de localisation ou d'estimation dans le cas des vecteurs propres associés, par exemple en utilisant les techniques de compléments de Schur de  [54] ou les idées de Murota  [149] .

L'idée est ensuite d'utiliser ces résultats de localisation pour améliorer la précision des algorithmes de calcul numérique de valeurs propres de matrices, en particulier en construisant des changements d'échelle exploitant les calculs tropicaux, à effectuer préalablement à l'appel d'algorithmes classiques comme QZ. Les travaux de Stéphane Gaubert et Meisam Sharify  [115] ont montré l'intérêt de cette approche, notamment pour les problèmes de faisceaux quadratiques de valeurs propres issus de systèmes mécaniques pour lesquels on dispose de nombreux exemples pathologiques pour les algorithmes existants. Dans un travail en collaboration avec Françoise Tisseur et James Hook de l'Université de Manchester, on montre l'intérêt des changements d'échelle en termes de le conditionnement des valeurs propres.

English version

The M2 internship of Andrea Marchesini led to the publication [14] , in which we show majorization type inequalities between the eigenvalues of a matrix and the tropical eigenvalues of the matrix obtained by applying the modulus entrywise. In particular, the bound is a generalization of the inequality of Friedland  [106] concerning the spectral radius.

The PhD thesis follows his M2 internship and some of the works of Meisam Sharify's PhD thesis  [167] . The aim is to obtain majorization type inequalities allowing one to estimate the eigenvalues of matrices or matrix polynomials, using possibly assumptions on condition numbers. In particular, one may look for estimates of these eigenvalues using the eigenvalues of aggregated or simplified matrices. One may also try to find the same type of estimates for the associated eigenvectors, for instance by using techniques of Schur complements from  [54] or ideas of Murota  [149] .

One would like to use these estimation results to improve the accuracy of eigenvalue numerical computions, in particular by constructing scaling methods using tropical techniques, which may be used before calling usual algorithms as QZ. The works of Stéphane Gaubert and Meisam Sharify  [115] showed the interest of this approach, in particular for quadratic matrix polynomials issued from mechanical systems for which there exists several pathological examples for existing algorithms. In a work with Françoise Tisseur and James Hook from Manchester University, we show the interest of these scaling methods on the eigenvalue conditioning.

Mesures et applications maxitives/Maxitive measures and maps

Participants : Marianne Akian, Stéphane Gaubert, Paul Poncet.

La thèse de Paul Poncet  [154] concernait essentiellement ce que l'on appelle l'analyse idempotente, c'est-à dire l'étude des espaces fonctionnels ou linéaires de dimension infinie sur l'algèbre tropicale, ou tout autre semi-anneau idempotent. Paul Poncet a développé pour cela un point de vue treillis continus comme dans [1] , ou plus généralement domaines. Depuis la soutenance, plusieurs articles issus du manuscrit de thèse sont en cours de publication ou de soumission, et d'autres travaux pousuivant ceux de la thèse sont en cours avec les membres de l'équipe.

La première partie de la thèse traitait des mesures maxitives, en particulier de l'existence d'une densité cardinale ou d'une densité d'une mesure par rapport à une autre (théorème de Radon-Nikodym), et de la régularité d'une mesure maxitive. Ces travaux sont publiés ou en cours de publication dans [49] et [23] respectivement.

La deuxième partie concernait les convexes dans les semi-treillis ou l'algèbre max-plus, pour lesquels Paul Poncet a pu établir des théorèmes de type Krein-Milman, réciproque de Milman, et représentation de Choquet. [48] traite du cas des semi-treillis.

On sait que les résultats sur les convexes tropicaux de dimension infinie de  [154] permettent de retrouver partiellement les résultats sur la frontière de Martin max-plus décrits dans la section  6.1.1 . Dans un travail commun nous essayons d'obtenir d'autres applications et extensions du théorème de représentation de Choquet tropical. En particulier on considère le cas d'ensembles ordonnés qui ne sont pas forcément des treillis tels que le cône des matrices symmetriques positives muni de l'ordre de Loewner.

English version

The PhD thesis work of Paul Poncet  [154] concerned essentially what is called idempotent analysis, that is the study of infinite dimensional functional or linear spaces over tropical algebra, or any other idempotent semiring. For this aim, Paul Poncet developped the point of view of continuous lattices, as in [1] , or more generally of domains. Since the defense of his thesis, several papers derived from the thesis manuscript have been submitted and some are published or up to be published. Some other works pursuing the thesis work are done with team members.

The first part of the Paul Poncet's thesis concerned maxitive measures, in particular the existence of a cardinal density of a measure, or that of a density of a measure with respect to another (Radon-Nikodym theorem), and the regularity of a maxitive measure. These works are now published or accepted for publication in [49] and [23] respectively.

A second part concerned convex sets in lattices or max-plus algebra, for which Paul Poncet showed results such as a Krein-Milman type theorem, a Milman converse type theorem, and a Choquet representation type theorem. [48] concerns the case of semilattices.

We know that the results on infinite dimensional tropical convex sets of  [154] allow one to recover at least partially the results on max-plus Martin boundaries described in Section  6.1.1 . In a joint work, we try to obtain other applications and extensions of the max-plus Choquet representation theorem. In particular, we consider the case of ordered sets that are not necessarily semilattices, such as the cone of nonnegative symmetric matrices endowed with the Loewner order.